El teorema de Turing, aun siendo el más básico de todos los teoremas de indecibilidad, no fue sin embargo el primero de ellos. En 1930 Gödel publicó un trabajo que planteó un escollo insalvable al programa de Hilbert para demostrar la coherencia de la aritmética. Esta publicación echó por la borda asimismo otra de las creencias favoritas de Hilbert: que, en principio, todo problema podía ser resuelto. "Debemos saber, llegaremos a saber", proclamaba Hilbert. Pero Gödel demostró que existen otros aspectos más allá de lo que pudiera soñar Hilbert en su filosofía. Los dos teoremas que resultaron devastadores son los siguientes:
1. Si la teoría formal de conjuntos es coherente, entonces existen teoremas de los que no se puede demostrar ni su verdad, ni su falsedad.
2. No existe forma alguna de demostrar la coherencia de la teoría de conjuntos.
Dice la leyenda que Hilbert perdió los estribos al enterarse de los resultados del trabajo de Gödel. Al principio se pensó que todo se debía a la manera particular de formalizar la teoría de conjuntos que Gödel había utilizado. Sin embargo, a medida que se llegaba a comprender cómo funcionaba la demostración, empezó a verse claro que en cualquier formalización de la aritmética serían aplicables las mismas ideas. No es cuestión de echar la culpa a ninguna axiomatización especial: es cuestión de la aritmética en sí. Con los teoremas de Gödel se desvaneció para siempre toda esperanza de demostrar, más allá de cualquier duda, la pureza sin tacha de la matemática. Las matemáticas se vieron forzadas a encarar un hecho desagradable que todas las demás ciencias habían aceptado ya mucho antes: es imposible estar completamente seguro de que es correcto lo que se está haciendo. Esto no era malo, después de todo, ya que el objetivo de la perfección total era obviamente una quimera: ¿cómo puede ningún sistema demostrar su propia infabilidad? ¿Daría usted crédito a alguien que le dijera "Soy infalible", y lo justificara añadiendo "porque lo digo yo"?.
IAN STEWART, De aquí al infinito. Ed. Crítica, 1998.
